By Dr. B. L. van der Waerden (auth.), Dr. B. L. van der Waerden (eds.)

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Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics, Volume 23)

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Polynomial Automorphisms: and the Jacobian Conjecture

Encouraged via a few infamous open difficulties, akin to the Jacobian conjecture and the tame turbines challenge, the topic of polynomial automorphisms has develop into a swiftly growing to be box of curiosity. This ebook, the 1st within the box, collects the various effects scattered through the literature. It introduces the reader to a desirable topic and brings him to the vanguard of study during this region.

Modules and comodules

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Lineare Algebra für Wirtschaftsinformatiker: Ein algorithmen-orientiertes Lehrbuch mit Lernsoftware

In den Wirtschaftswissenschaften werden oft praktische Probleme mit Hilfe von mathematischen Modellen analysiert, die aus Systemen von linearen Gleichungen oder Ungleichungen bestehen. Da in der Praxis Systeme mit einer groBen Anzahl von Unbekannten und vielen linearen Gleichungen auftreten, die nicht von Hand, sondem mit Hilfe von Computem gelost werden, wird im vorliegenden Buch der mathematische Stoff der linearen Algebra und linearen Optimierung vom algorith mischen Standpunkt aus behandelt.

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Es folgt: 39 ax=a, x =e. Also liegt x in e, also a' in a e. Die Klasse von @, die dem Element a entspricht, ist also genau die linksseitige Nebenklasse a e. Genau so zeigt man aber, daß die Klasse, die aentspricht, die rechtsseitige Nebenklasse ea sein muß. Also stimmen rechts- und linksseitige Nebenklassen überein: ae=ea, und eist Normalteiler. Damit ist alles bewiesen. Der Normalteiler e, dessen Elemente beim gegebenen Homomorphismus in e übergehen, heißt der Kern des Homomorphismus. Wir kehren nun die Frage um: Gegeben sei ein Normalteiler 9 von @.

Denn wenn a und b bei der Homomorphie beide in e übergehen, so geht ab über in e2 = e; also enthält e zu je zwei Elementen das Produkt. Weiter geht a-1 über in e-1 = e; also enthält e auch das Inverse eines jeden Elementes. Die Elemente einer linksseitigen Nebenklasse ae gehen alle über in das Element ae=a. Wenn umgekehrt ein Element a' in a übergeht, . so bestimme man x aus ax =a'. e § 13. Homomorphie. Normalteiler. Faktorgruppen. Es folgt: 39 ax=a, x =e. Also liegt x in e, also a' in a e. Die Klasse von @, die dem Element a entspricht, ist also genau die linksseitige Nebenklasse a e.

Diese Produkte bilden aber eine Gruppe, die a, b, ... enthält und die also auch ~ umfaßt. Also ist diese Gruppe mit ~ identisch. Damit ist gezeigt: Die von a, b, '" erzeugte Gruppe besteht aus allen Produkten aus ie endlichvielen dieser Elemente und ihren Inversen. Insbesondere erzeugt ein einziges Element a die Gruppe aller Potenzen a±n (inklusive aO = e). Wegen ist diese Gruppe abelsch. Eine Gruppe, die aus den Potenzen eines einzigen Elementes besteht, nennt man zyklisch. Es gibt nun zwei Möglichkeiten.

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