By Ernst Kunz

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Additional info for Algebra, 3. Auflage

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Gibt es aber Elemente a; b 2 R mit a 6= 0 und ab = a , dann hat R ein Einselement. 6) Zeigen Sie, da es im Polynomring K X ] uber einem beliebigen Korper K unendlich viele paarweise nicht assoziierte irreduzible Polynome gibt. (Hinweis: K kann endlich sein. Verallgemeinern Sie den bekannten Schlu von Euklid, da es unendlich viele Primzahlen gibt). 7) Sei n 2 N . a) Ist 2n 1 eine Primzahl, so auch n . b) Ist 2n + 1 eine Primzahl, dann ist n eine Potenz von 2. c) Fur m; n 2 N mit m 6= n sind die Zahlen 2 m + 1 und 2 n + 1 teilerfremd.

Satz. 7, da K (x) : K ] = 1 = x : K ]. Sei also x uber K algebraisch mit x : K ] =: n . Ferner sei f das Minimalpolynom von x uber K . Die Elemente 1; x; : : : ; xn 1 sind linear unabhangig uber K , da f den Grad n besitzt. Setze K~ := K + K x + + K xn 1 := f 0 + 1x + + n 1xn 1 j 0; : : : ; n 1 2 K g Wir werden zeigen, da K~ ein Korper ist. Da K K~ und x 2 K~ , folgt K (x) = K~ . Weil K~ : K ] = n ist, haben wir dann den Satz bewiesen. Das Produkt zweier Elemente von K~ gehort zu K~ , wenn xi xj 2 K~ fur i; j = 0; : : : ; n 1.

A+b = a + b , ab = a b fur a; b 2 L ). r hei t die regulare Darstellung von L=K . b) Sei a 2 K X ] das charakteristische Polynom von a . Man nennt es auch das charakteristische Polynom von a . Es gilt a(a) = 0. c) Sei fw1; : : : ; wng eine Basis von L=K und sei awi = n P j =1 ij wj (i = 1; : : : ; n; ij 2 K ) x 3 Algebraische und transzendente Korpererweiterungen 32 Dann ist a = det(XEn ( ij )), wobei En die n {reihige Einheitsmatrix bezeichnet. d) Ist L = K (a), so ist a das Minimalpolynom von a uber K .