By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach speedy dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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Man braucht also nur die Terme auszumultiplizieren und erhält dann eine Gleichung mit der gewünschten Eigenschaft. Insbesondere erklärt der Vieta' sche Wurzelsatz auch eine bereits von Cardano in seiner Ars magna niedergeschriebene Beobachtung. Dieser hatte für einige Gleichungen der Form x 3 + bx = ax2 + c drei Lösungen gefunden und bemerkt, dass die Summe der Lösungen jeweils mit dem Koeffizienten a des quadratischen Terms übereinstimmen 24 . Eine Erklärung für diese Tatsache dürfte für Cardano allerdings schwierig gewesen sein, da dies letztlich den Gebrauch von negativen Zahlen voraussetzt, um die Gleichung in eine Form zu bringen, bei der auf der rechten Gleichungsseite nur die Null steht.

Ein Vergleich mit einer ähnlichen Erscheinung im Bereich der reellen Zahlen mag dies erläutern: Der Graph des als reellwertige Funktion aufgefassten Polynoms x 3 - 2 verläuft im Koordinatensystem von "links unten" nach "rechts oben". Daher "muss" er die x-Achse zwangsläufig an mindestens einer Stelle schneiden. Das heißt, das untersuchte Polynom - und entsprechend jedes andere Polynom mit ungeradem Grad - hat mindestens eine Nullstelle. Was so einfach und selbstverständlich aussieht, ist in der Infinitesimalrechnung Gegenstand sehr grundlegender Überlegungen, die im so genannten Zwischenwertsatz ihre Zusammenfassung finden.

Liegt eine solche Zerlegung in so genannte Linearfaktoren vor, sind offensichtlich alle Lösungen bekannt. Aber auch umgekehrt, so Descartes, erhält man mit jeder Lösung einen Teilschritt hin zu einer Zerlegung in Linearfaktoren. Ist beispielsweise eine Lösung Xl bekannt, so kann man innerhalb des auf der linken Gleichungsseite stehenden Polynoms die Unbekannte X durch Xl + (X - Xl) ersetzen. Entwickelt man nun die Potenzen (Xl + (X - XI»k nach Potenzen von Xl und (x - Xl), so findet man, dass sich der Faktor (x - Xl) abspalten lässt: n X +an_1x n-l + ...

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