By Henri Lombardi, Claude Quitté

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12 12 14 14 17 19 20 20 22 23 24 24 26 27 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 43 43 44 44 45 51 55 Dans ce chapitre, comme dans tout l’ouvrage sauf mention expresse du contraire, les anneaux sont commutatifs et unitaires, et les homomorphismes entre anneaux respectent les 1.

Sn des monoïdes comaximaux de A, x ∈ A et a, b deux idéaux de type fini de A. Alors on a les équivalences suivantes : 1. n , x = 0 dans ASi . 2. n , x est régulier dans ASi . 3. n , a = 1 dans ASi . 4. n , a ⊆ b dans ASi . La démonstration est laissée à la lectrice. Remarque. 6 page 44, les idéaux n’ont pas besoin d’être de type fini. Exemples Donnons des exemples simples d’application du principe local-global concret de base. 4) est celui où le module M dans l’énoncé est un idéal non nul d’un anneau de Dedekind.

Puisque Fn Gm = 0, on peut conclure par le lemme qui suit. 8. 6 Soient a, b, c ∈ A. Si c est nilpotent modulo a et modulo b, et si ab = 0 alors c est nilpotent. On a cn = xa et cm = yb donc cn+m = xyab = 0. Remarque. On peut formuler ce lemme de manière plus structurelle en considérant pour deux idéaux a, b l’application canonique (diagonale) A → A/a × A/b de noyau a ∩ b. Si un élément de A est nilpotent modulo a et modulo b, il l’est modulo a ∩ b donc aussi modulo ab (puisque (a ∩ b)2 ⊆ ab). On touche ici au ✭✭ principe de recouvrement fermé ✮✮, voir page 442.

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